Question

已知

a

，

b

是非零向量，t为实数，设

u

=

a

+

tb

．
（1）当|

u

|取最小值时，求实数t的值；
（2）当|

u

|取最小值时，求证

b

⊥（

a

+

b

）．

Answer 1

分析：（1）要求|

u

|取最小值，我们可以根据

u

=

a

+

tb

，计算|

u

|²，然后构造一个关于t的函数，利用二次函数求最值的办法，进行求解．
（2）要求证

b

⊥（

a

+

b

），可根据向量垂直的充条条件，判断

b

•（

a

+

b

）=0．

解答：解：（1）解：|

u

|²=

a

²+2

a

•

b

t+（t²）

b

²
=|

b

|²t²+2

a

•

b

t+|

a

|²
当|

u

|²有最小值时，
|

u

|有最小值．
设f（t）=（

b

t）²+2

a

•

b

t+

a

²，
f'（t）=2

b

²t+2

a

b

=0时，
|

u

|有最小值
此时t=-

a • b

| b |2

（2）证明：∵

b

•（

a

+t

b

）
=

a

•

b

+（-

a • b

| b |2

•

b

²）
=

a

•

b

-

a

•

b

=0
∴

b

与

a

+t

b

垂直．

点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．