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【题目】已知直线与椭圆交于两点,且(其中为坐标原点),若椭圆的离心率满足,则椭圆长轴的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

联立直线方程与椭圆方程得(a2+b2x22a2x+a2a2b20,设Px1y1),Qx2y2),由OPOQ,得0,由根与系数的关系可得:a2+b22a2b2.由椭圆的离心率e满足e,化为,即可得出.

联立 得:(a2+b2x22a2x+a2a2b20,设Px1y1),Qx2y2

△=4a44a2+b2)(a2a2b2)>0,化为:a2+b21

x1+x2 x1x2.∵OPOQ

x1x2+y1y2x1x2+x11)(x21)=2x1x2﹣(x1+x2+10

2×+10.化为a2+b22a2b2.∴b2

∵椭圆的离心率e满足e,∴,∴,化为54a26

解得: 2a .满足△>0.∴椭圆长轴的取值范围是[]

故选:A

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