【题目】已知直线与椭圆交于两点,且(其中为坐标原点),若椭圆的离心率满足,则椭圆长轴的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
联立直线方程与椭圆方程得(a2+b2)x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OP⊥OQ,得=0,由根与系数的关系可得:a2+b2=2a2b2.由椭圆的离心率e满足≤e≤,化为,即可得出.
联立 得:(a2+b2)x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2)
△=4a4﹣4(a2+b2)(a2﹣a2b2)>0,化为:a2+b2>1.
x1+x2= ,x1x2=.∵OP⊥OQ,
∴=x1x2+y1y2=x1x2+(x1﹣1)(x2﹣1)=2x1x2﹣(x1+x2)+1=0,
∴2×﹣+1=0.化为a2+b2=2a2b2.∴b2=.
∵椭圆的离心率e满足≤e≤,∴,∴,,化为5≤4a2≤6.
解得: ≤2a≤ .满足△>0.∴椭圆长轴的取值范围是[,].
故选:A.
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【题目】设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,,则
②若,,,则
③若,,则
④若,,则
其中正确命题的序号是( )
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;
(2)设动直线:分别与曲线,相交于点,,求当为何值时,取最大值,并求的最大值.
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【题目】以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程是,曲线C2的参数方程是(θ为参数).
(1)写出曲线C1,C2的普通方程;
(2)设曲线C1与y轴相交于A,B两点,点P为曲线C2上任一点,求|PA|2+|PB|2的取值范围.
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【题目】如图1,点为半径为千米的圆形海岛的最东端,点为最北端,在点的正东千米处停泊着一艘缉私艇,某刻,发现在处有一小船正以速度 (千米/小时)向正北方向行驶,已知缉私艇的速度为(千米/小时) .
(1)为了在最短的时间内拦截小船检查,缉私艇应向什么方向行驶? (精确到)
(2)海岛上有一快艇要为缉私艇送去给养,问选择海岛边缘的哪一点出发才能行程最短? (如图2建立坐标系, 用坐标表示点的位置)
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【题目】某厂销售部以箱为单位销售某种零件,每箱的定价为元,低于箱按原价销售,不低于箱则有以下两种优惠方案:①以箱为基准,每多箱送箱;②通过双方议价,买方能以优惠成交的概率为,以优惠成交的概率为.
甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件,两单位都选择方案②,且各自达成的成交价格相互独立,求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率;
某单位需要这种零件箱,以购买总价的数学期望为决策依据,试问该单位选择哪种优惠方案更划算?
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【题目】如图,一个正和一个平行四边形ABDE在同一个平面内,其中,,AB,DE的中点分别为F,G.现沿直线AB将翻折成,使二面角为,设CE中点为H.
(1)(i)求证:平面平面AGH;
(ii)求异面直线AB与CE所成角的正切值;
(2)求二面角的余弦值.
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