Question

15．已知直线l：y=k（x-2）与抛物线C：y²=8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若|AF|=3|BF|，则直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F，过B作AE的垂线BC，在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，在直角三角形ABC中，得出直线AB的斜率．

解答 解：如图，设A，B两点的抛物线的准线上的射影分别为E，F′，
过B作AE的垂线BC，
在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角，其正切值即为K值，
设|BF|=n，∵|AF|=3|BF|，∴|AF|=3n，
根据抛物线的定义得：|AE|=3n，|BF′|=n，
∴|AC|=2n，
在直角三角形ABC中，tan∠BAC=$\frac{\sqrt{16{n}^{2}-4{n}^{2}}}{2n}$=$\sqrt{3}$，
∴k_AB=k_AF=$\sqrt{3}$．
∴直线l的倾斜角为$\frac{π}{3}$．
根据对称性，直线l的倾斜角为$\frac{2π}{3}$，满足题意．
故答案为$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查直线的倾斜角的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质，注意数形结合思想的合理运用．