已知椭圆的左右焦点为
,抛物线C:
以F2为焦点且与椭圆相交于点
、
,点
在
轴上方,直线
与抛物线
相切.
(1)求抛物线的方程和点
、
的坐标;
(2)设A,B是抛物线C上两动点,如果直线,
与
轴分别交于点
.
是以
,
为腰的等腰三角形,探究直线AB的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.
(1)M、N的坐标分别为(1,2)、(1,-2)。
(2)为定值
解析试题分析:解:(1)由椭圆方程得半焦距 1分
所以椭圆焦点为
又抛物线C的焦点为
3分
∵在抛物线C上,
∴,直线
的方程为
4分
代入抛物线C得
5分
∵与抛物线C相切,
, 6分
∴ M、N的坐标分别为(1,2)、(1,-2)。 7分
(2)直线AB的斜率为定值—1.
证明如下:设,
,
,A、B在抛物线
上,
由①-③得,
由②-③得, 10分
因为是以MP,MQ为腰的等腰三角形,所以
10分
由得
化简整理,
得
由得:
为定值 14分
解法二:设,
6分
则,
8分
因为是以MP,MQ为腰的等腰三角形,所以
10分
即
所以
所以,由得
12分
所以,
所以,直线AB的斜率为定值,这个定值为 14分
考点:直线与抛物线的位置关系
点评:主要是考查了抛物线方程的方程的求解以及直线与抛物线的位置关系的运用,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆,直线l为圆
的一条切线,且经过椭圆C的右焦点,直线l的倾斜角为
,记椭圆C的离心率为e.
(1)求e的值;
(2)试判定原点关于l的对称点是否在椭圆上,并说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的焦点与椭圆
的右焦点重合.(Ⅰ)求抛物线
的方程;
(Ⅱ)动直线恒过点
与抛物线
交于A、B两点,与
轴交于C点,请你观察并判断:在线段MA,MB,MC,AB中,哪三条线段的长总能构成等比数列?说明你的结论并给出证明.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆的离心率为
:2.(1)过点C(-1,0)且以向量
为方向向量的直线
交椭圆于不同两点A、B,若
,则当△OAB的面积最大时,求椭圆的方程。
(2)设M,N为椭圆上的两个动点,,过原点O作直线MN的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C1的极坐标方程为:
(1)求曲线C1的普通方程
(2)曲线C2的方程为,设P、Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求|PQ|的最小值
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴上,且过点
.
(Ⅰ)求抛物线的标准方程;
(Ⅱ)与圆相切的直线
交抛物线于不同的两点
若抛物线上一点
满足
,求
的取值范围.
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