Question

已知函数f（x）=1-

1-x2

，x∈[0，1]对于满足0＜x₁＜x₂＜1的任意x₁，x₂，给出下列结论
①

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0              ②x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）
③

f(x1)+f(x2)

2

＞ f(

x1+x2

2

)     ④f（x）≤2^x
其中正确结论的序号是

 

（填上所有正确说法的序号）

Answer 1

分析：由函数的解析式可知，函数的图象是以（0，1）为圆心，1为半径在的在第一象限的

1

4

个圆，由于x∈[0，1]时，单调递增，判断出①错；先赋予②中不等式的几何意义，可判断出其是错误的；判断出函数图象的趋势，得到函数值的平均值与自变量的平均值的函数值的大小，判断出③正确；由于指数函数过点（0，1）且为增函数，故④正确．

解答：解：由函数的解析式可知，函数的图象是以（0，1）为圆心，1为半径在的在第一象限的

1

4

个圆
对于①，由于x∈[0，1]时，单调递增，故①错
对于②，x₂f（x₁）＞x₁f（x₂）即为

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

即表示两个点（x₁，f（x₁））；（x₂，f（x₂））与原点连线的斜率，故②正确；
对于③因为图象呈下凹趋势，所以有

f(x1)+f(x2)

2

＞ f(

x1+x2

2

)，故③对
对于④，由于指数函数过点（0，1）且为增函数，故④正确
故答案为②③④

点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，解题的关键是由函数的解析式判断出函数的图象，有一定的难度．