试题分析:(1)首先对函数求导,然后根据导数的性质,求原函数的单调区间.
(2)由题意可知
恒成立,根据绝对值的几何意义,分类去掉绝对值符号,然后再根据基本不等式求解即可.
(3)设切线与直线
的公共点为P(2,t),当
时,则
,由导数的几何意义可知点A为切点的切线的斜率k=
,切线方程为
.把点P(2,t)代入切线方程
中,整理得
,同理可得
,设
,则原问题等价于函数
至少有两个不同的零点.求
,利用导数的性质求出函数g(x)的单调区间和极值,欲使
至少有两个不同的零点,则需满足极大值g(0)≥0且极小值g(2)≤0,解出t即可.
(1)
当
时,
的减区间为
;
当
时,
的减区间为
; 当
时,
无减区间。 4分
(2)由条件得:
,
当
时,得
,即
恒成立,因为
(当
时等号成立),所以
,即
; 6分
当
时,得
,即
恒成立,因为
,(当
时等号成立),所以
,即
;
当
时,
;
综上所述,
的取值范围是
9分
(3)设切线与直线
的公共点为
,当
时,
,
则
,因此以点
为切点的切线方程为
.
因为点
在切线上,所以
,即
.
同理可得方程
. 11分
设
,则原问题等价于函数
至少有两个不同的零点.
因为
,
当
或
时,
单调递增,当
时,
递减。
因此,
在
处取得极大值
,在
处取得极小值
若要满足
至少有两个不同的零点,则需满足
,解得
故存在,且交点纵坐标的最大值为10.