Question

(本小题满分14分)

已知数列，，其中，数列的前项和，数列满足，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；

（Ⅲ）若数列满足当是偶数时，求数列的前项和．

 

 

 

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为，

当时，．

所以．

所以．

即．

又，

所以

．……………………………………………………………………3分

当时，上式成立

因为，，

所以是首项为，公比为的等比数列，故．…………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

则．…………………7分

假设存在自然数，使得对于任意，，有恒成立，

即恒成立．

由，解得．

所以存在自然数，使得对于任意，，有恒成立．此时的最小值为．……………………………………………………10分

（Ⅲ）当是奇数时，

  

 

   ．……………………………………………………12分

当是偶数时，

  

   ．

因此…………………………14分