Question

已知某运动的物体做变速直线运动,它的速度v是时间t的函数v(t),求物体在t=0到t=t₀这段时间内所经过的路程s.

Answer 1

思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程.

解:(1)分割:将时间区间［0,t₀］分成n等份:［t₀］(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的时间为Δt=;各区间物体运动的距离记作Δs_i(i=1,2,…,n).

(2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的距离.在小区间［］上任取一时刻ξ_i(i=1,2,…,n).用时刻ξ_i的速度v(ξ_i)近似代替第i个小区间上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示为Δs_i≈v(ξ_i)Δt(i=1,2,…,n).

(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替,所以在时间［0,t₀］内物体运动的距离s,就可以用这一物体分别在n个小区间上作n个匀速直线运动的路程和近似代替,即s=.

(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=越小时,的值越接近于s.因此,当n→∞,即Δt=→0时,的极限,就是所求的物体在时间区间［0,t₀］上经过的路程.由此得到s=.

    深化升华 s=为做变速直线运动的物体在［0,t₀］这段时间内所运动的路程,其中ξ_i为区间［］上的任意值,取ξ_i=t₀时,s=;

取ξ_i=t₀时,s=;取ξ_i=时,

s=.当物体做匀速直线运动时,上面的结论仍成立.