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    【题目】已知正四棱锥的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.

    （1）求概率的值；

    （2）求随机变量的概率分布及其数学期望.

    【答案】（1）（2）见解析

    【解析】

    （1）由题意，分别得出“从5个顶点中随机选取3个点构成三角形”和“”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；

    （2）先由题意得到的可能取值，求出对应的概率，进而可得到分布列，求出期望.

    解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，

    共有种取法.其中的三角形如，

    这类三角形共有个.

    因此.

    （2）由题意，的可能取值为，2，.

    其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；

    其中的三角形有两个，和.

    因此，.

    所以随机变量的概率分布列为：

    2

    所求数学期望

    .

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：

    零件数x（个）

    10

    20

    30

    40

    50

    加工时间y（分钟）

    62

    68

    75

    82

    88

    （1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据中至少有一组数据小于加工时间的均值的概率；

    （2）若加工时间与零件数具有相关关系，求关于的回归直线方程；若需加工个零件，根据回归直线预测其需要多长时间.

    (，)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】（本题满分12分）如图， 是圆的直径，点是圆上异于的点， 垂直于圆所在的平面，且．

    （Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；

    （Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；

    （Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：

    个人所得税税率表（调整前）

    个人所得税税率表（调整后）

    免征额3500元

    免征额5000元

    级数

    全月应纳税所得额

    税率（%）

    级数

    全月应纳税所得额

    税率（%）

    1

    不超过1500元部分

    3

    1

    不超过3000元部分

    3

    2

    超过1500元至4500元的部分

    10

    2

    超过3000元至12000元的部分

    10

    3

    超过4500元至9000元的部分

    20

    3

    超过12000元至25000元的部分

    20

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    ...

    （1）假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；

    （2）某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：

    收入（元）

    人数

    30

    40

    10

    8

    7

    5

    先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；

    （3）小红该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小红算一下调整后小红的实际收入比调整前增加了多少？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

    （1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

    （2）估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

    （3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

    广告投入x（单位：万元）

    1

    2

    3

    4

    5

    销售收益y（单位：万元）

    1

    3

    4

    7

    表中的数据显示，x与y之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入上表的空白栏，并计算y关于x的回归方程.

    回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下列命题中：

    ①若命题，，则，；

    ②将的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象对应函数为；

    ③“”是“”的充分必要条件；

    ④已知为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆相交.

    其中正确的个数是（ ）

    A. 4B. 3C. 2D. 1

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    【题目】已知圆，圆N与圆M关于直线对称.

    （1）求圆N的方程.

    （2）是否存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，使得被圆M截得的弦长与被圆N截得的弦长相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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    【题目】设正数数列的前项和为，对于任意，是和的等差中项.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设，是的前项和，是否存在常数，对任意，使恒成立？若存在，求取值范围；若不存在，说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：

    第一段生产的半成品质量指标

    或

    或

    第二段生产的成品为一等品概率

    0.2

    0.4

    0.6

    第二段生产的成品为二等品概率

    0.3

    0.3

    0.3

    第二段生产的成品为三等品概率

    0.5

    0.3

    0.1

    从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：

    若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元.

    （Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；

    （Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；

    （Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由.

    （参考数据：，，）

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