Question

设抛物线y²=2x的焦点为F，过点M（

3

，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比

S△BCF

S△ACF

=（　　）

• A、

  4

  5

• B、

  2

  3

• C、

  4

  7

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：根据F到直线AB的距离为定值．推断出

S△BCF

S△ACF

=

|BC|

|AC|

，进而根据两三角形相似，推断出

|BC|

|AC|

=

|BB1|

AA1

，根据抛物线的定义求得

|BB1|

AA1

=

|BF|

|AF|

，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=

y2

2

代入，即可求得A的坐标，进而求得

|BF|

|AF|

的值，则三角形的面积之比可得．

解答：解：如图过B作准线l：x=-

1

2

的垂线，垂足分别为A₁，B₁，
由于F到直线AB的距离为定值．
∴

S△BCF

S△ACF

=

|BC|

|AC|

．
又∵△B₁BC∽△A₁AC、
∴

|BC|

|AC|

=

|BB1|

AA1

，
由拋物线定义

|BB1|

AA1

=

|BF|

|AF|

=

2

|AF|

．
由|BF|=|BB₁|=2知x_B=

3

2

，y_B=-

3

，
∴AB：y-0=

3

3 - 3 2

（x-

3

）．
把x=

y2

2

代入上式，求得y_A=2，x_A=2，
∴|AF|=|AA₁|=

5

2

．
故

S△BCF

S△ACF

=

|BF|

|AF|

=

2

5 2

=

4

5

．
故选A

点评：本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．