Question

若存在实数p∈[-1，1]，使得不等式px²+（p-3）x-3＞0成立，则实数x的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：把已知不等式整理为关于p的一元一次不等式，而不等式左边为关于p的一次函数，根据一次函数的性质可得此函数的最值只有在[-1，1]的端点取得，根据题意不等式恒成立可得当p=-1时，最小值大于0即可，故把p=-1代入不等式，得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围．
解答：解：不等式px²+（p-3）x-3＞0可以化为：p（x²-3x）-3x-3＞0，
这是一个关于p的一元一次不等式，
函数p（x²+x）-3x-3是关于p的一次函数，一次函数图象是直线，在定义域上是单调递增或递减，
P∈[-1，1]时，函数p（x²+x）-3x-3的最小值必定在端点-1或1处取到，
不等式px²+（p-3）x-3＞0总成立，只需最小值大于0即可．
∴-x²+（-1-3）x-3＞0，即x²+（1+3）x+3＜0，
解得：-3＜x＜-1，
则实数x的取值范围为（-3，-1）．
故答案为：（-3，-1）
点评：考查学生理解函数恒成立时的条件的能力，以及灵活运用一元二次不等式解法的能力．