Question

已知动圆C经过点，且在x轴上截得弦长为2，记该圆圆心的轨迹为E.
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）过点的直线m交曲线E于A，B两点，过A，B两点分别作曲线E的切线，两切线交于点C，当△ABC的面积为时，求直线m的方程.

Answer 1

（Ⅰ）x²＝2y；（Ⅱ）直线m的方程为y＝±x＋．

试题分析：（Ⅰ）根据定义法确定轨迹为抛物线，然后借助圆C被x轴截得弦长的最小值为1求解参数m的值；（Ⅱ）利用导数的几何意义求解抛物线的切线方程，然后将三角形面积进行表示，其底边用弦长公式进行表示，高用点到直线的距离进行表示，得到含有直线m的斜率k的等式.
试题解析：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为(x，y)，则其半径r＝．
依题意，r²－y²＝1，即x²＋(y－1)²－y²＝1，
整理得曲线E的方程为x²＝2y．                                   …4分
（Ⅱ）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则y₁＝，y₂＝．
设直线m方程为y＝kx＋，代入曲线E方程，得
x²－2kx－1＝0，则x₁＋x₂＝2k．                                   …6分
对y＝x²求导，得y¢＝x．
于是过点A的切线为y＝x₁(x－x₁)＋，即y＝x₁x－．         ①
由①同理得过点B的切线为y＝x₂x－．                       ②
设C(x₀，y₀)，由①、②及直线m方程得
x₀＝＝k，y₀＝x₁x₀－＝－．                               8分
M为抛物线的焦点，y＝－为抛物线的准线，由抛物线的定义，得
|AB|＝y₁＋＋y₂＋＝k(x₁＋x₂)＋2＝2(k²＋1)．
点C到直线m的距离d＝＝．                   10分
所以△ABC的面积S＝|AB|·d＝(k²＋1)．
由已知(k²＋1)＝2，有且仅有k＝±1．
故直线m的方程为y＝±x＋．                                   12分