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设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0)其中,f(0)=3,f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若c=-6,函数f(x)的两个极值点为x1,x2满足-1<x1<1<x2<2.设λ=a2+b2-6a+2b+10,试求实数λ的取值范围.
(Ⅰ)由于f(0)=3,则d=3,
而f'(x)=3ax2+2bx+c…(1分)
由f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0知
3a-2b+c=-36
27a+6b+c=-36
75a+10b+c=0
  ….(2分)
解得
a=1
b=-3
c=-45
 …(4分)
故f(x)=x3-3x2-45x+3即为所求.…(5分)
(Ⅱ)据题意,函数f(x)=ax3+bx2-6x+3,则f′(x)=3ax2+2bx-6
又x1,x2是方程f(x)=0的两根,且-1<x1<1<x2<2,a>0.
f(-1)>0
f(1)<0
f(2)>0
a>0
3a-2b-6>0
3a+2b-6<0
6a+2b-3>0
a>0
…(7分)
则点(a,b)的可行区域如图…(10分)
由于λ=a2+b2-6a+2b+10=(a-3)2+(b+1)2
则λ的几何意义为点P(a,b)与点A(3,-1)的距离的平方.….….(11分)
观察图形知点,A到直线3a+2b-6=0的距离的平方d2为λ的最小值  
d2=
(3×3-2×1-6)2
32+22
=
1
13

故λ的取值范围是(
1
13
,+∞)
…..(13分).
练习册系列答案
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x3
3
-4x+
2
3

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1
3
x3+
1
2
ax2
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b-2
a-1
的取值范围.

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lim
△x→0
f(1+△x)-f(1)
△x
=______.(用数字作答)

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已知函数,则在区间上的最大值为(      )
A.0B.C.D.

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