Question

3．已知函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）．
（1）若函数y=af（x）-b的最大值为4，最小值为2，求a，b的值；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得则$\left\{\begin{array}{l}{2|a|-b=4}\\{-2|a|-b=2}\end{array}\right.$，由此求得a，b的值．
（2）由题意可得，当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，m≥1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 恒成立，求得1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 的最大值，可得m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$），
若函数y=af（x）-b的最大值为4，最小值为2，则$\left\{\begin{array}{l}{2|a|-b=4}\\{-2|a|-b=2}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{|a|=\frac{1}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
故a=±$\frac{1}{2}$，b=-3．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，即m[f（x）+2]≥f（x）．
由于当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，∴f（x）∈[-$\sqrt{3}$，1]，∴f（x）+2＞0．
故有 m≥$\frac{f（x）}{f（x）+2}$=$\frac{f（x）+2-2}{f（x）+2}$=1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 恒成立．
由于1-$\frac{2}{f（x）+2}$ 的最大值为 1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，∴m≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．