Question

11．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）当a=-1时，判断f（x）的单调性；
（2）若g（x）=f（x）+ax在其定义域为减函数，求a取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入函数的表达式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为求a≤-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）恒成立，构造函数，求出新函数的最小值，从而求出a的范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴函数f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）g（x）=lnx-$\frac{a}{x}$+ax，（x＞0），
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$+a≤0，
∴a≤-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，则h′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞1，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴函数h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴h（x）_最小值=h（x）_极小值=h（1）=-$\frac{1}{2}$，
∴a≤-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．