分析 (1)将a=-1代入函数的表达式,求出函数的导数,从而求出函数的单调区间;
(2)问题转化为求a≤-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在(0,+∞)恒成立,构造函数,求出新函数的最小值,从而求出a的范围.
解答 解:(1)a=-1时,f(x)=lnx+$\frac{1}{x}$,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$,
令f′(x)>0,解得:x>1,
令f′(x)<0,解得:0<x<1,
∴函数f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增;
(2)g(x)=lnx-$\frac{a}{x}$+ax,(x>0),
∴g′(x)=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$+a≤0,
∴a≤-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在(0,+∞)恒成立,
令h(x)=-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$,则h′(x)=$\frac{(x+1)(x-1)}{{{(x}^{2}+1)}^{2}}$,
令h′(x)>0,解得:x>1,令h′(x)<0,解得:0<x<1,
∴函数h(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
∴h(x)最小值=h(x)极小值=h(1)=-$\frac{1}{2}$,
∴a≤-$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查函数恒成立问题,考查导数的应用,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{3}{5}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$-1 | C. | 0.5 | D. | 0.4 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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