Question

（2013•烟台一模）给出下列命题：
①函数y=

x

x2+4

在区间[1，3]上是增函数；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有3个；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=

∫

π -π

sinxdx；
④若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．
其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）：

②④

．

Answer 1

分析：①借助于导数来解决函数的单调性问题；
②函数的零点问题可借助于两函数图象的交点来完成，用图形来做；
③考查定积分的几何意义；
④考查正态分布的有关概率，注意ξ～N（1，σ²），即是1的左右两侧的概率全是0.5．

解答：解：①由于y=

x

x2+4

的导函数是y′=

4-x2

(x2+4)2

，令y′＞0，解得-2＜x＜2，故①错误；
②由于函数f（x）=2^x-x²的零点的个数即是方程2^x-x²=0的解的个数，也是函数y1=2x与y2=x2交点个数，
在同一直角坐标系中，分别画出两函数的图象如下：
则函数有三个零点，故②正确；
③由于函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象是关于关于原点对称，故与x轴围成的图形的面积是S=

∫

0 -π

-sinxdx+

∫

π 0

sinxdx，故③错；
④由于ξ～N（1，σ²），则P（0≤ξ≤1）=P（1≤ξ≤2）=0.3，则P（ξ≥2）=

1-2×0.3

2

=0.2，故④正确．
故答案为②④．

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，我们可以对四个结论逐一进行判断，方可得到正确的结论