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已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=
1
4
an+1=Sn+
t
16
(n∈N*)
t为常数.
(1)若t=4,求证:数列{an}为等比数列;
(2)若t=-3,bn=log2an+1,数列{bn}前n项和为Tn,当n取何值时Tn取最小值,并求Tn的最小值.
分析:(1)利用n≥2,an=Sn-Sn-1即可得出an与an-1的关系,利用等比数列的定义即可证明;
(2)先判断:数列{an}从第二项起是等比数列.再利用等比数列的通项公式即可判断其前n项和何时取得最大值与最小值.
解答:解:( 1)t=4时,an+1=Sn+
1
4

n≥2时,an=Sn-1+
1
4
an+1=2an
  又a2=
1
2
=2a1≠0

an+1
an
=2(n∈N*)

∴数列{an}是公比为2 的等比数列.
(2)若t=-3,an+1=2an,但a2≠2a1,且a2=
1
16

∴数列{an}从第二项起是等比数列.an+1=a22n-1=2n-5
bn=log22n-5=n-5
∴数列{bn}为等差数列,且b1,b2,b3,b4<0,b5=0,n≥6时,bn>0.
∴当n=5或n=4时,Tn取最小值,最小值为-10.
点评:本题考查了“n≥2,an=Sn-Sn-1关系”、等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本方法,属于中档题.
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