Question

（2013•威海二模）如图1，在梯形ABCD中，BC∥DA，BE⊥DA，EA=EB=BC=2，DE=1，将四边形DEBC沿BE折起，使平面DEBC垂直平面ABE，如图2，连结AD，AC．
（Ⅰ）若F为AB中点，求证：EF∥平面ADC；
（Ⅱ）若

AM

=λ

AC

，且BM与平面ADC所成角的正弦值为

2 2

3

，试确定点M的位置．

Answer 1

分析：（I）取AC中点N，连接FN，DN，FE，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理可得四边形FNDE为平行四边形，进而EF∥ND，结合线面平行的判定定理可得EF∥平面ADC；
（Ⅱ）分别以EA，EB，ED所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，求出线段BM的方向向量（含参数λ）及平面ADC法向量，代入向量夹角公式，求出λ值，可得点M的位置．

解答：证明：（I）取AC中点N，连接FN，DN，FE，
∵F，N分别是AB，AC的中点
∴FN∥BC且FN=

1

2

BC
又∵DE∥BC且DE=

1

2

BC
∴FN∥DE且FN=DE
∴四边形FNDE为平行四边形
∴EF∥ND
又∵EF?平面ACD，DN?平面ACD，
∴EF∥平面ADC；
（Ⅱ）∵平面DEBC⊥平面ABE，平面DEBC∩平面ABE=BE，AE⊥BE，AE?平面ABE
∴AE⊥平面DEBC
又∵DE?平面DEBC
∴AE⊥DE
由已知中DE⊥BE，AE⊥BE，故可以EA，EB，ED所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
 则E（0，0，0），D（0，0，1），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，2）
∴

AD

=（-2，0，1），

AC

=（-2，2，2）
设平面ADC的一个法向量为

n

=（x，y，z）
则

n • AD  =0 n • AC =0

，即

-2x+z=0 -2x+2y+2z=0

令x=1，则

n

=（1，-1，2）
∵BM与平面ADC所成角的正弦值为

2 2

3

，
∴|cos＜

BM

，

n

＞|=

2 2

3

设M（a，b，c），由

AM

=λ

AC

得（a-2，b，c）=λ（-2，2，2）
∴M（2-2λ，2λ，2λ）
∴

BM

=（2-2λ，2λ-2，2λ）
∴|cos＜

BM

，

n

＞|=

|2-2λ+2-2λ+4λ|

2 2(1-λ)2+λ2 1+1+4

=

2 2

3

即12λ²-16λ+5=0
解得λ=

1

2

或λ=

5

6

故M点位于AC的中点或靠近C点的六等分点上

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，（II）的关键是建立空间坐标系，将线面夹角问题转化为向量夹角问题．