【题目】如图,矩形和梯形所在平面互相垂直,,,.
(1)求证:平面;
(2)当的长为何值时,直线与平面所成角的大小为45°?
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】
(1)(法一)以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为建系.根据三角形相似可得,故由勾股定理可知.求得面的法向量,再由向量的数量积求得,可得证;
(法二)由矩形和梯形的几何性质得出线线平行,再由面面平行的判定定理可证得面面,由面面平行的性质可得证;
(2)由(1)可得面BCE的法向量,由线面角的向量计算方法建立方程可求得.
(1)(法一)如图,以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为建系.
设,由,,,依据三角形相似可得,故由勾股定理可知.
在中,可得.
所以各点坐标为.
,设面的法向量为,所以,
化简得,令得,得,故.
又不在面上,所以面.
(法二)
因为矩形,故.又,且,,
在面上,在面上,故面面.
又在面上,且不在面上,故面.
(2),
设面法向量为,所以,化简得,令,得.
由题得.
故,因为为正,所以.
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【题目】已知椭圆的右焦点,,,是椭圆上任意三点,,关于原点对称且满足.
(1)求椭圆的方程.
(2)若斜率为的直线与圆:相切,与椭圆相交于不同的两点、,求时,求的取值范围.
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【题目】由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合图,下列说法不正确的是( )
A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓
C.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
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【题目】已知在四棱锥中,底面是边长为的正方形,是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点.
(Ⅰ)求证:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG与平面所成锐二面角的大小;
(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线与平面所成角为,若存在,求线段的长度;若不存在,说明理由.
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【题目】在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息,得到如下表格:
潜伏期(单位:天) | |||||||
人数 |
(1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样,从上述1000名患者中抽取200人,得到如下列联表. 请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关;
潜伏期天 | 潜伏期天 | 总计 | |
50岁以上(含50岁) | |||
50岁以下 | 55 | ||
总计 | 200 |
(3)以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率,代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立. 为了深入研究,该研究团队随机调查了名患者,其中潜伏期超过6天的人数最有可能(即概率最大)是多少?
附:
,其中.
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【题目】2019年11月份,全国工业生产者出厂价格同比下降,环比下降某企业在了解市场动态之后,决定根据市场动态及时作出相应调整,并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格,该企业统计了2019年1~10月份产品的生产数量(单位:万件)以及销售总额(单位:十万元)之间的关系如下表:
2.08 | 2.12 | 2.19 | 2.28 | 2.36 | 2.48 | 2.59 | 2.68 | 2.80 | 2.87 | |
4.25 | 4.37 | 4.40 | 4.55 | 4.64 | 4.75 | 4.92 | 5.03 | 5.14 | 5.26 |
(1)计算的值;
(2)计算相关系数,并通过的大小说明与之间的相关程度;
(3)求与的线性回归方程,并推测当产量为3.2万件时销售额为多少.(该问中运算结果保留两位小数)
附:回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,;
相关系数.
参考数据:,,.
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【题目】已知椭圆的焦距为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,是否存在k使得点A关于l的对称点B(不同于点A)在椭圆C上?若存在求出此时直线l的方程,若不存在说明理由.
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【题目】已知椭圆的短轴长为,离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线平行于直线,且与椭圆交于两个不同的点,若为钝角,求直线在轴上的截距的取值范围.
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