Question

如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点．
①若QB的中点为C，OH⊥SC，求证OH⊥平面SBQ；
②如果∠AOQ=60°，QB=2

3

，求此圆锥的全面积．

Answer 1

分析：①连接OC，可得OC⊥QB，结合SO⊥平面ABQ得SO⊥BQ，从而得到BQ⊥平面SOC．由OH?平面SOC得BQ⊥OH，由已知OH⊥SC，结合线面垂直判定定理，可得OH⊥平面SBQ；
②根据△BOQ中，∠BOQ=120°，算出OQ=OB=2，从而得到圆锥底面半径为2，结合△SAB是等腰直角三角形，得到高SO=2，母线SA=2

2

，由此结合圆面积公式和圆锥的侧面积计算公式，即可算出此圆锥的全面积．

解答：解：①连接OC，则
∵OQ=OB，C为QB的中点，∴OC⊥QB
∵SO⊥平面ABQ，BQ?平面ABQ
∴SO⊥BQ，结合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC
∵OH?平面SOC，∴BQ⊥OH
∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ内的相交直线
∴OH⊥平面SBQ；
②∵∠AOQ=60°，QB=2

3

，
∴△BOQ中，∠BOQ=120°，可得OQ=OB=

3

3

QB=2
∵圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，
∴圆锥的底面半径为2，高SO=2，可得母线SA=2

2

因此，圆锥的侧面积为S_侧=π×2×2

2

=4

2

π
∴此圆锥的全面积为S_侧+S_底=4

2

π+π×2²=（4+4

2

）π

点评：本题给出特殊的圆锥，求证线面垂直并求圆锥的表面积，着重考查了空间垂直的证明和圆锥的表面积计算等知识，属于中档题．