Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当0＜L＜1时，对于任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…
（1）证明：

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|；
（2）令Ak=

a1+a2+…ak

k

(k=1，2，3)，证明：

n

k=1

|Ak-Ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．．

Answer 1

分析：（1）因为a_n+1=f（a_n），当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|．所以

n

k=1

|ak-ak+1|=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|，由此能够证明

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．
（2）由A k=

a1+a2+…+ak

k

，知|Ak-Ak+1|  =|

1

k(k+1)

(a1+a2+…+ak-kak+1)|=

1

k(k+1)

|(a1-a2)+2(a3-a2)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|．因为a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|，所以

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．由A_k=

a1+a2+…ak

k

，|Ak-Ak+1|=|

a1+a2+…+ak

k

-

a1+a2+…+ak+1

k+1

≤

1

1-L

|a1-a2|．≤

1

k(k+1)

(|a1-a2|  +2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|a_k-a_k+1|．所以

n

k=1

|Ak-Ak+1|=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|A_n-A_n+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．

解答：（1）证明：∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…，
故当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|
=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|
≤…≤L^n-1|a₁-a₂|．
∴

n

k=1

|ak-ak+1|=|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|
≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|
=

1-Ln

1-L

|a1-a2|．
∵0＜L＜1，
∴

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|；
（当n=1时，不等式也成立．）
（2）证明：∵A k=

a1+a2+…+ak

k

，
∴|Ak-Ak+1|  =|

1

k(k+1)

(a1+a2+…+ak-kak+1)|
=

1

k(k+1)

|(a1-a2)+2(a3-a2)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|．
①∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故当n≥2时，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|
≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|
．…6分
∴

n

k=1

|ak-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|
≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|…7分
=

1-Ln

1-L

|a1-a2|．…8分
∵0＜L＜1，
∴

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|（当n=1时，不等式也成立）．…9分
②∵A_k=

a1+a2+…ak

k

，
∴|Ak-Ak+1|=|

a1+a2+…+ak

k

-

a1+a2+…+ak+1

k+1

|

=|

1

k(k+1)

(a1+a2+…+ak-kak+1)|
=

1

k(k+1)

|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|

≤

1

k(k+1)

(|a1-a2|+2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|ak-ak+1|)． …11分
∴

n

k=1

|Ak-Ak+1|=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|An-An+1|

≤|a1-a2|(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

)+2|a2-a3|(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
+3|a3-a4|(

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

)+…+n|an-an+1|×

1

n(n+1)

=|a1-a2|(1-

1

n+1

)+|a2-a3|(1-

2

n+1

)+…+|an-an+1|(1-

n

n+1

)

≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．…14分
≤

1

k(k+1)

(|a1-a2|  +2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|a_k-a_k+1|，
∴

n

k=1

|Ak-Ak+1|=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|A_n-A_n+1|
≤|a1-a2|(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

)+2|a2-a3|(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
+3|a3-a4|(  

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

)+…+n|an-an+1|×

1

n(n+1

=|a1-a2|(1-

1

n+1

)+|a2-a3|(1-

2

n+1

)+…+|an-an-1|  (1-

n

n+1

)
≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|
≤

1

1-L

|a1-a2|．

点评：本题考查不等式和函数的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，计算繁琐，容易出错，是高考的重点．解题时认真审题，要注意计算能力的培养．