Question

【题目】已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1 ， y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：由方程x2+y2+2x﹣4y+3=0知（x+1）2+（y﹣2）2=2，所以圆心为（﹣1，2），半径为 ．

当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则 = ，所以k=2± ，即切线方程为y=（2± ）x．

当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则 = ，所以a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．

综上知，切线方程为y=（2± ）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；

（2）解：因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．

要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．

当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，

此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣ ， ）．

【解析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和半径，分切线过原点和不过原点进行设直线方程，再通过圆心到切线方程的距离等于半径即可得出切线方程，（2）在直角三角形PMC中，根据勾股定理可得|PM|2+|CM|2=|PC|2，由|PM|=|PO|，|CM|=r可得|PO|2+r2=|PC|2，由两点间距离公式经化简可得2x1﹣4y1+3=0，要使|PM|最小，只要|PO|最小即可，当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，可得出P点坐标.