Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a．求：
（1）AB与B₁C所成的角；
（2）AB与B₁C间的距离；
（3）AB与B₁D间的距离．

Answer 1

解：（1）∵AB∥CD，
∴∠B₁CD是AB与B₁C所成角．
∵DC⊥平面BB₁C₁C，
∴DC⊥B₁C．于是∠DCB₁=90°．
∴AB与B₁C所成角为90°．

（2）连接BC₁交B₁C于O，则BO⊥B₁C．
又AB⊥平面BB₁C₁C，∴AB⊥BO．
∴BO是异面直线AB和B₁C的公垂线段，
易得BO=a，
即AB与B₁C间的距离为a．

（3）∵AB∥DC，AB?平面B₁DC，DC?平面B₁DC，
∴AB∥平面B₁DC，从而AB与平面B₁DC间的距离即为AB与B₁D间的距离．
∵BO⊥B₁C，BO⊥CD，B₁C∩DC=C，
∴BO⊥平面DB₁C．∴BO的长为B到平面B₁DC间的距离．
∵BO=a，∴AB与B₁D间的距离为a．
分析：（1）说明∠B₁CD是AB与B₁C所成角，通过∠DCB₁=90°证明AB与B₁C所成的角为90°；
（2）连接BC₁交B₁C于O，则BO⊥B₁C．说明BO是异面直线AB和B₁C的公垂线段，直接求出AB与B₁C间的距离；
（3）说明AB与平面B₁DC间的距离即为AB与B₁D间的距离，利用垂直关系直接求出AB与B₁D间的距离．
点评：本题考查正方体中的直线与直线的距离，解题方法是：找出两条直线的公垂线段，通过解三角形的有关知识解答，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是基础题．