Question

某供货商拟从码头A发货至其对岸l的两个商场B，C处，通常货物先由A处船运至BC之间的中转站D，再利用车辆转运．如图，码头A与两商场B，C的距离相等，两商场间的距离为20千米，且∠BAC=

π

2

．若一批货物从码头A
至D处的运费为100元/千米，这批货到D后需分别发车2辆、4辆转运至B、C处，每辆汽车运费为25元/千米．设∠ADB=α，该批货总运费为S元．
（Ⅰ）写出S关于α的函数关系式，并指出α的取值范围；
（Ⅱ）当α为何值时，总运费S最小？并求出S的最小值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,基本不等式在最值问题中的应用,不等式的实际应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出AD，BD，CD，利用S=AD×100+BD×25×2+CD×25×4，写出S关于α的函数关系式，并指出α的取值范围；
（Ⅱ）换元，利用导数，即可求出当α为何值时，总运费S的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）依题意，在Rt△ABC中，2AB²=20²，
∴AB=10

2

．…（1分）
又∵在△ABD中，∠ABD=

π- π 2

2

=

π

4

，∠ADB=α，
由

AD

sin π 4

=

AB

sinα

，得AD=

10

sinα

…（2分）
由

BD

sin[π-(α+ π 4 )]

=

AB

sinα

，得BD=

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

，…（3分）
∴CD=20-

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

． …（4分）
∴S=AD×100+BD×25×2+CD×25×4=

10

sinα

×100+

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

×50+[20-

10 2 sin(α+ π 4 )

sinα

]×100
=2000+

1000-500 2 sin(α+ π 4 )

sinα

，其中α的取值范围是(

π

4

， 

3π

4

)．    …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）S=2000+

1000-500 2 sin(α+ π 4 )

sinα

=1500+500×

2-cosα

sinα

，…（8分）
令f(α)=

2-cosα

sinα

，
∴f′(α)=

sinα•sinα-cosα(2-cosα)

sin2α

=

1-2cosα

sin2α

，…（9分）
由f′（α）=0得：cosα=

1

2

，
又∵α∈(

π

4

， 

3π

4

)，
∴α=

π

3

．  …（10分）
当α∈(

π

4

， 

π

3

)时，f′（α）＜0，
当α∈(

π

3

， 

3π

4

)时，f′（α）＞0，…（11分）
∴f(α)min=f(

π

3

)=

2- 1 2

3 2

=

3

． …（12分）
∴Smin=1500+500

3

（元），
∴当α=

π

3

时，运输费用S的最小值为(1500+500

3

)元．…（13分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换、解三角形、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力和运算求解能力，考查应用意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想．