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如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA=AB=1,PB=PD=
2
,点E在PD上,且PE:ED=2:1.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求二面角D-AC-E的余弦值;
(3)在棱PC上是否存在一点F,使得BF平面ACE.
(1)正方形ABCD边长为1,PA=1,PB=PD=
2

所以,∠PAB=∠PAD=90°,即PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A,
根据直线和平面垂直的判定定理,
有PA⊥平面ABCD.
(2)如图,以A为坐标原点,直线AB、AD、AP分别x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
AC
=(1,1,0)
AE
=(0,
2
3
1
3
)

由(1)知
AP
为平面ACD的法向量,
AP
=(0,0,1)

设平面ACE的法向量为
n
=(a,b,c)

a+b=0
2
3
b+
1
3
c=0

令c=6,则b=-3,a=3,
n
=(3,-3,6)
,…(4分)
设二面角D-AC-E的平面角为θ,则|cosθ|=
|
n
AP
|
|
n
||
AP
|
=
6
3

又有图可知,θ为锐角,
故所求二面角的余弦值为
6
3

(3)设
PF
PC
(λ∈[0,1])
,则
PF
=λ(1,1,-1)=(λ,λ,-λ)
BF
=
BP
+
PF
=(λ-1,λ,1-λ)

若BF平面ACE,则
BF
n
,即
BF
n
=0
,(λ-1,λ,1-λ)•(3,-3,6)=0,
计算得λ=
1
2

所以,存在满足题意的点,即当F是棱PC的中点时,BF平面ACE.…(8分)
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1、B1C1、C1D1的中点.
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(2)求证:AG平面BEF;
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(II)若直线GE与平面ABCD所成角为
π
6

①求证:FG⊥平面ABCD:
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值.

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(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AB所成角的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱PA上是否存在一点E,使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是
2
3
,若存在,求出AE的长;若不存在,说明理由.

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(Ⅰ)求证:AN平面MEC;
(Ⅱ)在线段AM上是否存在点P,使二面角P-EC-D的大小为
π
6
?若存在,求出AP的长h;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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(Ⅰ)求
SC
OB
夹角的余弦值;
(Ⅱ)求OC与平面SBC夹角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角S-BC-O.

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2
,点E、F分别是面A1C1、面BC1的中心.
(1)求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求直线AF和平面BEC所成角的余弦值.

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A.B.C.D.

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