【题目】已知函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数图象关于直线x=2对称
(1)求b值;
(2)若f(x)在x=t处取得极小值,记此极小值为g(t),求g(t)的定义域.
【答案】
(1)解:f′(x)=3x2+2bx+c
因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,
所以﹣ =2,于是b=﹣6
(2)解:由(1)知,f(x)=x3﹣6x2+cx,
f′(x)=3x2﹣12x+c=3(x﹣2)2+c﹣12,
(ⅰ)当c≥12时,f′(x)≥0,此时f(x)无极值.
(ii)当c<12时,f′(x)=0有两个互异实根x1,x2.
不妨设x1<x2,则x1<2<x2.
当x<x1时,f′(x)>0,f(x)在区间(﹣∞,x1)内为增函数;
当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)在区间(x1,x2)内为减函数;
当x>x2时,f′(x)>0,f(x)在区间(x2,+∞)内为增函数.
所以f(x)在x=x1处取极大值,在x=x2处取极小值.
因此,当且仅当c<12时,函数f(x)在x=x2处存在唯一极小值,所以t=x2>2.
于是g(t)的定义域为(2,+∞)
【解析】(1)函数f(x)=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称,则求出f′(x)得到一个二次函数,利用x=﹣ =2求出b即可;(2)求出f′(x),由(1)得函数的对称轴为x=2,讨论c的取值范围求出g(t)的定义域和值域即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识,掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值.
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【题目】已知数列{an+1﹣2an}是公比为2的等比数列,其中a1=1,a2=4.
(1)证明:数列{ }是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)记Cn= (n≥2),证明:
(
)n<
+…+
≤1﹣(
)n﹣1 .
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【题目】若函数f(x)=x2+ax﹣ 在(
,+∞)是增函数,则a的取值范围( )
A.(﹣∞,3]
B.(﹣∞,﹣3]
C.[﹣3,+∞)
D.(﹣3,+∞)
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【题目】袋子里有编号为的五个球,某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲,其乘积只告诉乙,让甲、乙分别推断这两个球的编号.
甲说:“我无法确定.”
乙说:“我也无法确定.”
甲听完乙的回答以后,甲又说:“我可以确定了.”
根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中
A. 一定有3号球 B. 一定没有3号球 C. 可能有5号球 D. 可能有6号球
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【题目】经研究,城市公交车的数量太多容易造成资源浪费,太少又难以满足乘客需求.为此,某市公交公司从某站占的40名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位: )作为样本分成5组如下表:
组别 | 侯车时间 | 人数 |
一 | 2 | |
二 | 6 | |
三 | 2 | |
四 | 2 | |
五 | 3 |
(1)估计这40名乘客中侯车时间不少于20分钟的人数;
(2)若从上表侯车时间不少于10分钟的7人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人侯车时间都不少于20分钟的概率.
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【题目】在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A.众数
B.平均数
C.中位数
D.标准差
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