Question

【题目】已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数图象关于直线x=2对称
（1）求b值；
（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2bx+c

因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，

所以﹣ =2，于是b=﹣6

（2）解：由（1）知，f（x）=x3﹣6x2+cx，

f′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12，

（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．

（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x1，x2．

不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．

当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x1）内为增函数；

当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；

当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．

所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值．

因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2＞2．

于是g（t）的定义域为（2，+∞）

【解析】（1）函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f′（x）得到一个二次函数，利用x=﹣ =2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域和值域即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．