(1)以AB,AC,AA
1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,求出各点的坐标及对应向量的坐标,易判断
,即AM⊥PN;
(2)设出平面ABC的一个法向量,表达出sinθ,利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系,求出满足条件的λ值,进而求出此时θ的正切值;
(3)假设存在,利用平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°,则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为30°,代入向量夹角公式,可以构造一个关于λ的方程,研究方程根的情况,即可得到结论.
证明:(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A
1(0,0,1),
B
1(1,0,1), M(0,1,
),N(
,0)
,
,
(1)∵
,∴
∴无论
取何值,AM⊥PN………………………………4分
(2)∵
(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.
∴sinθ=|cos<
|=
∴当
=
时,θ取得最大值,此时sinθ=
,cosθ=
,tanθ=2 ………8分
(3)假设存在,则
,设
是平面PMN的一个法向量.
则
得
令x=3,得y=1+2
,z=2-2
∴
∴|cos<
>|=
化简得4
∵△=100-4
4
13=-108<0
∴方程(*)无解
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º