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(本小题满分12分)如图,已知三棱柱的侧棱与底面垂直,分别是的中点,点在直线上,且
(1)证明:无论取何值,总有
(2)当取何值时,直线与平面所成的角最大?并求该角取最大值时的正切值;
(3)是否存在点,使得平面与平面所成的二面角为30º,若存在,试确定点的位置,若不存在,请说明理由.
(1)证明:见解析;
(2)当时,θ取得最大值,此时sinθ=,cosθ=,tanθ="2" ;
(3)不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º
(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,求出各点的坐标及对应向量的坐标,易判断,即AM⊥PN;
(2)设出平面ABC的一个法向量,表达出sinθ,利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系,求出满足条件的λ值,进而求出此时θ的正切值;
(3)假设存在,利用平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°,则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为30°,代入向量夹角公式,可以构造一个关于λ的方程,研究方程根的情况,即可得到结论.
证明:(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A1(0,0,1),

C

 
N
 

B1(1,0,1), M(0,1,),N(,0)


(1)∵,∴
∴无论取何值,AM⊥PN………………………………4分
(2)∵(0,0,1)是平面ABC的一个法向量.
∴sinθ=|cos<|=
∴当时,θ取得最大值,此时sinθ=,cosθ=,tanθ=2 ………8分
(3)假设存在,则,设是平面PMN的一个法向量.
令x=3,得y=1+2,z=2-2

∴|cos<>|=化简得4
∵△=100-4413=-108<0
∴方程(*)无解
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30º
练习册系列答案
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(2)求证:.

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(1)求证:平面
(2)当时,求二面角的大小.
 

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(2).

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如图,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面ABCD,AB=1,AD=2,PA=CD=4,求二面角的余弦值.

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