Question

（2012•石景山区一模）如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB面积的最大值是（　　）

• A．

  9 3

  2

• B．

  36

  5

• C．12
• D．24

Answer 1

分析：本题在二面角背景下求三角形的面积，需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，再由面积公式求出面积，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，根据题设条件可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将三角形的面积用t表示出来，再研究面积的最值选出正确选项．

解答：解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA?β，CB?β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA，∴PA²-t²=4PA²-（6-t）² ，解得PA²=12-4t．
∴PM=

12-4t-t 2

，即此四棱锥的高等于

12-4t-t 2

．
∴S=

1

2

×AB×PM=

1

2

×6×

12-4t-t 2

=3

16-(t +2)2

≤12．
即三角形面积的最大值为12，
故选C．

点评：本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解答本题，关键是将由题设条件得出三角形的性质、：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，将面积表示成此变量的函数，从而利用函数的最值来研究面积的最值，本题考查了函数最值的思想，转化的思想，数形结合的思想，本题解题过程中将几何问题转化为代数问题求解是几何问题中求最值的常规思想，在近几年的高考中此类题多有出现，本题易因为没有能建立起面积的函数而导致解题失败．