Question

9．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（1）求数列{a_n}的公比q；
（2）试问a₄与a₇的等差中项是数列{a_n}中的第几项？
（3）若a₁=1，求数列{na_3n-2}（n∈N₊）的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列的求和分别表示出S₃、S₉、S₆代入2S₉=S₆+S₃，注意公比不为1，计算即可得到答案；
（2）运用等差数列中项的性质，结合等比数列的通项公式，计算即可得到所求值；
（3）求得数列{na_3n-2}即为{n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1}，运用数列的求和方法：错位相减法，化简整理，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）S₃，S₉，S₆成等差数列，
可得2S₉=S₆+S₃，
当q=1时，2S₉=S₆+S₃，不成立．
即有q≠1时，2•$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$，
整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1（舍去）或-$\frac{1}{2}$，
可得q=-$\frac{\root{3}{4}}{2}$；
（2）a₄与a₇的等差中项为$\frac{{a}_{4}+{a}_{7}}{2}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{6}}{2}$
=$\frac{-\frac{1}{2}{a}_{1}+\frac{1}{4}{a}_{1}}{2}$=-$\frac{1}{8}$a₁，
由a₁q^n-1=-$\frac{1}{8}$a₁，即q^n-1=-$\frac{1}{8}$，
又q³=-$\frac{1}{2}$，可得n=10，
即有a₄与a₇的等差中项是数列{a_n}中的第10项；
（3）a₁=1，数列{na_3n-2}即为{n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1}，
则前n项和为T_n=1•（-$\frac{1}{2}$）⁰+2•（-$\frac{1}{2}$）+3•（-$\frac{1}{2}$）²+…+n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
即有-$\frac{1}{2}$T_n=1•（-$\frac{1}{2}$）+2•（-$\frac{1}{2}$）²+3•（-$\frac{1}{2}$）³+…+n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减可得，$\frac{3}{2}$T_n=1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得，前n项和为T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9}$•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列的中项的性质，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．