分析 (1)根据等比数列的求和分别表示出S3、S9、S6代入2S9=S6+S3,注意公比不为1,计算即可得到答案;
(2)运用等差数列中项的性质,结合等比数列的通项公式,计算即可得到所求值;
(3)求得数列{na3n-2}即为{n•(-$\frac{1}{2}$)n-1},运用数列的求和方法:错位相减法,化简整理,结合等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.
解答 解:(1)S3,S9,S6成等差数列,
可得2S9=S6+S3,
当q=1时,2S9=S6+S3,不成立.
即有q≠1时,2•$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{9})}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{6})}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{3})}{1-q}$,
整理得2q6-q3-1=0,解q3=1(舍去)或-$\frac{1}{2}$,
可得q=-$\frac{\root{3}{4}}{2}$;
(2)a4与a7的等差中项为$\frac{{a}_{4}+{a}_{7}}{2}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{6}}{2}$
=$\frac{-\frac{1}{2}{a}_{1}+\frac{1}{4}{a}_{1}}{2}$=-$\frac{1}{8}$a1,
由a1qn-1=-$\frac{1}{8}$a1,即qn-1=-$\frac{1}{8}$,
又q3=-$\frac{1}{2}$,可得n=10,
即有a4与a7的等差中项是数列{an}中的第10项;
(3)a1=1,数列{na3n-2}即为{n•(-$\frac{1}{2}$)n-1},
则前n项和为Tn=1•(-$\frac{1}{2}$)0+2•(-$\frac{1}{2}$)+3•(-$\frac{1}{2}$)2+…+n•(-$\frac{1}{2}$)n-1,
即有-$\frac{1}{2}$Tn=1•(-$\frac{1}{2}$)+2•(-$\frac{1}{2}$)2+3•(-$\frac{1}{2}$)3+…+n•(-$\frac{1}{2}$)n,
两式相减可得,$\frac{3}{2}$Tn=1+(-$\frac{1}{2}$)+(-$\frac{1}{2}$)2+…+(-$\frac{1}{2}$)n-1-n•(-$\frac{1}{2}$)n
=$\frac{1-(-\frac{1}{2})^{n}}{1-(-\frac{1}{2})}$-n•(-$\frac{1}{2}$)n,
化简可得,前n项和为Tn=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9}$•(-$\frac{1}{2}$)n.
点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查等差数列的中项的性质,以及数列的求和方法:错位相减法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
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A. | 6 | B. | 7 | C. | 9 | D. | 10 |
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A. | 2$\sqrt{7}$ | B. | 8 | C. | 6$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{19}$ |
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A. | (2,4,3) | B. | (3,4,4) | C. | 9 | D. | -5 |
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几何题 | 代数题 | 总计 | |
男同学 | 22 | 8 | 30 |
女同学 | 8 | 12 | 20 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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