Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．
（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由．
（3）如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF的体积．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，利用直线垂直于平面的判定定理，先推导出BD⊥平面APC，由此能够证明BD⊥FG．
（2）当G为EC中点时，FG∥平面PBD．根据题设条件，利用直线与平面平行的判定定理进行证明．
（3）三棱锥B-CDF的体积等于三棱锥F-BCD的体积，利用等积法能求出结果．

解答：（1）证明：∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD、AC交于点E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD．…（2分）
∴BD⊥平面APC，…（3分）
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG…（4分）
（2）解：当G为EC中点，即AG=

3

4

AC时，FG∥平面PBD．…（5分）
理由如下：
连结PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE…（6分）
而FG?平面PBD，PB?平面PBD，
故FG∥平面PBD．…（8分）
（3）解：连结FE，FD，
∵F是PC中点，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴FE∥PA，且FE=

1

2

PA=1，
∵PD⊥面ABCD，∴FE⊥面BCD，
∵S_△BCD=

1

2

×2×2=2，
∴三棱锥B-CDF的体积V=V_F-BCD=

1

3

×1×2=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与直线垂直的证明，考查空间点位置的确定，考查三棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意等积法的合理运用．