Question

6．设x，y∈[0，+∞），证明不等式：$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：∵x，y∈[0，+∞），
∴$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$+xy+$\frac{1}{4}$（x+y）≥xy+xy+$\frac{1}{4}$（x+y）=xy+$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{4}$y+xy≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．
∴$\frac{1}{2}$（x+y）²+$\frac{1}{4}$（x+y）≥x$\sqrt{y}$+y$\sqrt{x}$．

点评 本题考查利用基本不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．