Question

已知函数f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0．
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）设（1）问中函数取得极大值的点为P（x，y），求点P的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，
∴f'（x）=48x²-40ax+8a²=8（2x-a）（3x-a）
由f′（x）=0，得，
当a＞0时，，见下表：

x
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大	减函数	极小	增函数

∴当时，函数取得极大值为；
当时，函数取得极小值为
当a＜0时，，见下表：

x
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大	减函数	极小	增函数

∴当时，函数取得极大值为；
当时，函数取得极小值为，
（2）由（1）可知：
当a＞0时，，消去a得：y=x³（x＞0），
当a＜0时，，消去a得：y=0（x＜0），
所以 P点的轨迹方程为：．
分析：（1）由f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，知f'（x）=48x²-40ax+8a²=8（2x-a）（3x-a），由f′（x）=0，得，由此能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）由（1）可知：当a＞0时，y=x³（x＞0）；当a＜0时，y=0（x＜0），由此能求出P点的轨迹方程．
点评：本题考查函数的极值的求法和点的轨迹方程的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质和分类讨论思想的灵活运用．