Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱D₁C₁、B₁C₁的中点，求平面EFC与底面ABCD所成锐二面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EFC与底面ABCD所成锐二面角的正切值．

解答： 解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系．
设该正方体的棱长为4，则C（0，4，0），E（0，2，4），F（2，4，4），
则

CE

=(0，-2，4)，

CF

=(2，0，4)，
设平面CEF的法向量是

n

=（x，y，z），
则

n • CE =-2y+4z=0 n • CF =2x+4z=0

，
取z=1，得

n

=（2，-2，-1），
显然，平面ABCD的法向量为

DD1

=（0，0，4），
设这两个法向量的成角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

DD1

＞|=|

-4

3×4

|=

1

3

，
∴sinθ=

1- 1 9

=

2 2

3

，tanθ=

sinθ

cosθ

=2

2

，
∴所求两平面所组成的锐二面角的正切值为2

2

．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．