Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(

x+y

1-xy

)； ②当x∈（-1，0）时，f（x）＞0，回答下列问题．
（1）证明：函数f（x）在（-1，1）上的图象关于原点对称；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由．
（3）证明：f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)＞f(

1

2

)，（n∈Z）．

Answer 1

分析：（1）判断函数f（x）的奇偶性：①判断函数定义域是否关于原点对称，②判断f（-x）与f（x）的关系；
（2）证明函数f（x）的单调性，利用定义，分五步①设元，②作差，③变形，④判号，⑤下结论；
（3）利用题中所给的等式，把要求的与已知的相结合，将f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)转化成f(

1

2

)-f(

1

n+2

)，然后根据单调性可判断符号，从而得到结论．

解答：解：（1）令x=y=0，则2f（0）=f（0）即f（0）=0，
令y=-x，则f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在（-1，1）上是奇函数；
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(

x1-x2

1+x1x2

)，
而x₁-x₂＜0，1+x₁x₂＞0⇒

x1-x2

1+x1x2

＜0⇒f(

x1-x2

1+x1x2

)＞0，
即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）上单调递减；
（3）f(

1

n2+3n+3

)=f[

1

(n+1)(n+2)+1

]=f[

1 (n+1)(n+2)

1+ 1 (n+1)(n+2)

]
=f[

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 •(- 1 n+2 )

]=f(

1

n+1

)+f(-

1

n+2

)=f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)，
∴f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)
=[f(

1

2

)-f(

1

3

)]+[f(

1

3

)-f(

1

4

)]+…+[f(

1

n+1

)-f(

1

n+2

)]
=f(

1

2

)-f(

1

n+2

)，
∵0＜

1

n+2

＜1，且f（x）在（0，1）单调递减，
∴f(

1

n+2

)＜f(0)=0，
∴f(

1

2

)-f(

1

n+2

)＞f(

1

2

)，
∴f(

1

7

)+f(

1

13

)+…+f(

1

n2+3n+3

)＞f(

1

2

)．

点评：本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性，与具体函数的证明方法相同，做题一定要抓牢定义，特别是证明题，一切方法源根本．属于中档题．