Question

【题目】设函数f（x）=ln（1+x）．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤ ，求t的最小值；
（2）当n∈N*时，证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的导数为f′（x）= ，

f（0）=0，f′（0）=1，切线的方程为y=x，即g（x）=x，

当x≥0时，f（x）≤ ，即为

ln（x+1）﹣ ≤0，x≥0恒成立．

设h（x）=ln（x+1）﹣ ，x≥0，

h（x）≤0，h（1）≤0即t≥﹣1+2ln2＞0．

h′（x）= ﹣ = =﹣ ，

当0＜t＜ 时，0＜x＜ 时，h′（x）＞0，h（x）递增，

故0＜x＜ 时，h（x）＞h（0）=0，与x≥0，h（x）≤h（0）=0，相矛盾，则0＜t＜ 不合题意．

当t= 时，h′（x）=﹣ ＜0，h（x）在[0，+∞）递减，

故当x≥0时，h（x）≤h（0）=0，因此t的最小值为 ；

（2）证明：由（1）可得ln（1+x）＜ ，x≥0，x=0时取得等号．

取x= ，ln ＜ = + （ ﹣ ），

则ln ＜ + （ ﹣ ），（1）

ln ＜ + （ ﹣ ），（2）

…，ln ＜ + （ ﹣ ），（n）

将n个不等式相加，由对数的运算性质，可得

ln2=ln（ … ）＜ + +…+ + （ ﹣ ），

则

【解析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，可得切线的方程，即g（x）=x．由题意可得ln（x+1）﹣ ≤0，x≥0恒成立．设h（x）=ln（x+1）﹣ ，x≥0，求出导数，求得单调区间，可得最小值；（2）由（1）可得ln（1+x）＜ ，x≥0，x=0时取得等号．取x= ，ln ＜ = + （ ﹣ ），运用对数的运算性质和累加法，及不等式的性质，即可得证．
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．