Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（1）若PA=AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；
（2）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AC∩BD=O，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°

∴BO=1，AO=CO= ，

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，

则 P（0，﹣ ，2），A（0，﹣ ，0），B（1，0，0），C（0， ，0），D（﹣1，0，0）

∴ =（1， ，﹣2）， =（﹣1， ，﹣2）， =（0，2 ，﹣2），

设平面PDC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取y= ，得 =（﹣3， ，3），

设PB与平面PDC所成角为θ，

则sinθ = = ．

∴PB与平面PDC所成角的正弦值为

（2）解：由（1）知 =（﹣1， ，0），设P（0，﹣ ，t）（t＞0），

则 =（﹣1，﹣ ，t），设平面PBC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取y= ，得 =（3， ， ），

同理，平面PDC的法向量 =（﹣3， ， ），

∵平面PCB⊥平面PDC，∴ =﹣9+3+ =0，

解得t= ，∴PA= ．

【解析】（1）设AC∩BD=O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出PB与平面PDC所成角的正弦值．（2）求出平面PBC的法向量和平面PDC的法向量，利用向量法能求出PA的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．