Question

对于二项式（1-x）¹⁰，求：
（1）求展开式中的二项式系数和；
（2）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（3）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．

Answer 1

分析：（1）二项式的展开式中的二项式系数和为

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰，运算求得结果．
（2）此展开式共有11项，它的中间项是第6项，再由通项公式求得它的值．
（3）设二项式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，令x=0，可得a₀=1，从而求得 a₁+a₂+…+a₁₀ 的值，即为所求．

解答：解：（1）对于二项式（1-x）¹⁰，展开式中的二项式系数和为

C

0 10

+

C

1 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2¹⁰=1024．
（2）此展开式共有11项，它的中间项是第6项，为 T₆=

C

5 10

•（-x）⁵=-252x⁵．
（3）设二项式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，
令x=0，可得a₀=1，∴a₁+a₂+…+a₁₀=-1，即 展开式中除常数项外，其余各项的系数和为-1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．