Question

【题目】已知A，B是抛物线上的两点，且在x轴两侧，若AB的中点为Q，分别过A，B两点作T的切线，且两切线相交于点P.

（1）求证：直线PQ平行于x轴；

（2）若直线AB经过抛物线T的焦点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4

【解析】

（1）分别求出抛物线T在点，处切线的斜率，写出切线方程，将两切线方程联立解出点P的纵坐标，再求出点Q的纵坐标，即可判断直线PQ与x轴平行；

（2）把点P的纵坐标代入切线方程求出横坐标，得到点P的坐标，把直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理求出，，从而求出点P到直线AB的距离d以及，再列出面积的表达式，转化为求函数的最小值即可求解.

解：由题意，不妨设A在第一象限，B在第四象限.

设，.

（1）证明：抛物线在第一象限内的图象所对应的函数解析式为求导可得，

所以过点A的切线的斜率，

所以直线AP的方程为，

把代入化简得，

同理可得直线BP的方程为，

联立方程消去x得，

即P点的纵坐标为.

又因为Q点的纵坐标为，

所以直线PQ平行于x轴.

（2）设点P的坐标为，

由（1）知，

把代入直线BP的方程，

解得，所以.

因为抛物线焦点的坐标为，且直线AB的斜率不为零，

所以设直线AB的方程为，

将直线AB的方程与抛物线的方程联立，

即，'消去x得，

因为，

所以，.

所以点P的坐标为，

设点P到直线AB的距离为d，

则，

又因为

，

所以

.

故当时，的面积取得最小值，最小值为4.