Question

某种消费品专卖店，已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系用下图中一条折线表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元．
（I）试求该店每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系；
（II）若该店只安排40名职工，求每月的利润S的最大值？并指出此时该种消费品的销售价是多少．

Answer 1

分析：（I）根据每月销售量q（百件）与销售价p（元/件）的关系是一条折线，是一个分段函数，每段是一个一次函数，根据线段两端点可求出解析式；
（II）根据每月的利润S=每月销售量q×销售价p-37200建立函数关系式，然后分别在每一段上求出最大值，比较可得每月的利润S的最大值以及此时该种消费品的销售价．

解答：解：（I）由图可得该函数一个分段函数，每段是一个一次函数
在[40，58]上，直线过点（40，60），（58，24），则q=-2p+140
在[58，81]上，直线过点（58，24），（81，1），则q=-p+82
∴q=

-2p+140(40≤p≤58) -p+82(58＜p≤81)

…（6分）
（II）由题意∴S=

(-2p+140)(p-40)×100-37200 (40≤p≤58) (-p+82)(p-40)×100-37200 (58＜p≤81)

…（10分）
当40≤p≤58时，求得p=55时，S_max=7800
当58＜p≤81时，求得p=61时，S_max=6900…（15分）
所以当该店只安排40名职工，每月的利润的最大值为7800元，此时该种消费品的销售价是55元．

点评：本题主要考查了分段函数的解析式，以及分段函数的最值和函数模型的选择与应用，同时考查计算能力，属于中档题．