Question

5．函数y=$\sqrt{1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}}$的定义域[-1，3]，值域[0，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$]．

Answer 1

分析 由根式内部的代数式大于等于0得到指数不等式，进一步转化为二次不等式求解定义域；求解x²-2x-3的范围，得到${3}^{{x}^{2}-2x-3}≥{3}^{-4}$，则函数值域可求．

解答 解：由$1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}≥0$，得${3}^{{x}^{2}-2x-3}≤1$，
即x²-2x-3≤0，解得：-1≤x≤3．
∴函数y=$\sqrt{1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}}$的定义域为[-1，3]；
∵x²-2x-3=（x-1）²-4≥-4，
∴${3}^{{x}^{2}-2x-3}≥{3}^{-4}$，
∴$-{3}^{{x}^{2}-2x-3}≤-{3}^{-4}$，
则$1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}≤1-\frac{1}{81}=\frac{80}{81}$．
∴函数y=$\sqrt{1-{3}^{{x}^{2}-2x-3}}$的值域为[0，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$]．
故答案为：[-1，3]；[0，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$]．

点评 本题考查函数的定义域及其值域的求法，求解x²-2x-3的范围是求解该题值域的关键，是中档题．