Question

已知函数f（x）的定义域是{x|x＞0}，并且满足：当x＞1时，f（x）＞2；?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）-f（x₁）-f（x₂）+2
（1）求f（1）
（2）求证函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（3）当f（2）=5时，求不等式f（x）＜17的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）令x₁=x₂=1，则f（1）=1或2，检验得到f（1）不成立，f（1）=2；
（2）令1＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，由于当x＞1时，f（x）＞2，则有f（

x2

x1

）＞2，则f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）再由条件即可得到得证；
（3）令x₁=x₂=2，则f（4）=17，不等式f（x）＜17即为f（x）＜f（4），同（2）可得（0，1）也为增区间，故f（x）在（0，+∞）递增，即可解出不等式．

解答： （1）解：?x₁，x₂∈（0，+∞），都有f（x₁x₂）=f（x₁）f（x₂）-f（x₁）-f（x₂）+2，
则令x₁=x₂=1，则f（1）=f²（1）-2f（1）+2，解得f（1）=1或2，
若f（1）=1，则令x₁=1，x₂=x，则有f（x）=f（1）f（x）-f（1）-f（x）+2，即有f（x）=1．
这与当x＞1时，f（x）＞2矛盾，故f（x）=1舍去，
若f（1）=2，令x₁=1，x₂=x，则有f（x）=f（1）f（x）-f（1）-f（x）+2恒成立，
故有f（1）=2；
（2）证明：令1＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
由于当x＞1时，f（x）＞2，则有f（

x2

x1

）＞2，
则f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）•f（

x2

x1

）-f（x₁）-f（

x2

x1

）+2=f（

x2

x1

）（f（x₁）-1）-f（x₁）+2
＞2f（x₁）-2-f（x₁）+2=f（x₁），
则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（3）令x₁=x₂=2，则f（4）=f²（2）-2f（2）+2=25-10+2=17，
则不等式f（x）＜17即为f（x）＜f（4），
由f（1）=2，则f（x•

1

x

）=f（x）f（

1

x

）-f（x）-f（

1

x

）+2=2，
即有f（

1

x

）=

f(x)

f(x)-1

，
令0＜x＜1，则

1

x

＞1，f（

1

x

）＞2，解得1＜f（x）＜2，
同（2）可得（0，1）也为增区间，
故f（x）在（0，+∞）递增，
则有f（x）＜f（4）得到0＜x＜4．
即解集为（0，4）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的判断和应用：解不等式，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题和易错题．