Question

【题目】设函数 ，函数 ，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当 时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为 ？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，其定义域为[0，a]；
（2）解：令 ，则 且x=（t﹣1）2

∴ （5分）

∴

∵ 在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，

∴ 在 上递增，即此时f（x）的值域为

（3）解：令 ，则 且x=（t﹣1）2∴

∵ 在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，

∴y= 在[1，2]上递增， 上递减，

t=2时 的最大值为 ，

∴a≥1，又1＜t≤2时

∴由f（x）的值域恰为 ，由 ，解得：t=1或t=4

即f（x）的值域恰为 时，

所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}

【解析】（1）将g（x），h（x）的解析式相乘可得到f（x）的解析式，g（x）和h（x）的定义域的交集即为f（x）的定义域，（2）当a=时，使用换元法，注意新元的取值范围，结合对勾函数可得出f（x）的值域，（3）使用换元法得出f（t）的解析式，分类进行讨论得到a的集合.
【考点精析】利用函数的定义域及其求法和函数的值域对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．