Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，且an=2an﹣1+2n（n≥2，且n∈N*）
（1）求证：数列{ }是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{an}的前n项之和Sn ， 求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*）

∴

∴

∴数列{ }是以 为首项，1为公差的等差数列

（2）解：由（1）得

∴an=

（3）解：∵Sn= + +…+

∴2Sn= + +…+

两式相减可得﹣Sn=1+22+23+…+2n﹣ =（3﹣2n）2n﹣3

∴Sn=（2n﹣3）2n+3＞（2n﹣3）2n

∴

【解析】（1）利用an=2an﹣1+2n（≥2，且n∈N*），两边同除以2n ， 即可证明数列{ }是等差数列；（2）求出数列{ }的通项，即可求数列{an}的通项公式；（3）先错位相减求和，再利用放缩法，即可证得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差关系的确定和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．