Question

已知直线l：（a-2）y=（3a-1）x-1
（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
（2）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）直线l方程可整理为：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，由直线系的知识联立方程组，解方程组可得定点；
（2）由题意可得a的范围，分别令x=0，y=0可得相应的截距，可表示面积，由二次函数的知识可得结论．

解答：解：（1）直线l方程可整理为：a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
联立

3x-y=0 -x+2y-1=0

，可解得

x= 1 5 y= 3 5

，
∴直线恒过定点(

1

5

，

3

5

)
（2）由题意可知直线的斜率k=

3a-1

a-2

＜0，
∴a∈(

1

3

，2)，令y=0可得x=

1

3a-1

，令x=0可得y=

-1

a-2

．
∴S△=

1

2

|

1

3a-1

|•|

-1

a-2

|=

1

2

|

1

(3a-1)(a-2)

|=

1

2

|

1

3a2-7a+2

|
由二次函数的知识可知，当a=

7

6

时，三角形面积最小，
此时l的方程为：5y+15x-6=0

点评：本题考查直线过定点问题，涉及函数最值的求解，属中档题．