Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A，B，C成等差数列，且b=

3

．
（1）若sinA+cosA=

2

，求a；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）通过等差数列求出B，利用两角和与差的三角函数化简sinA+cosA=

2

，求出A的值，利用正弦定理求a；
（2）利用余弦定理以及基本不等式求出a、c的关系，表示出△ABC面积，然后求出面积的最大值．

解答：解：（1）因为A、B、C成等差数列，所以A+C=2B，
又A+B+C=π，∴B=

π

3

． …（2分）
sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）=

2

，∴sin（A+

π

4

）=1．
∵0＜A＜π，

π

4

＜A+

π

4

＜

5π

4

，∴A+

π

4

=

π

2

，A=

π

4

．…（6分）
根据正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

，即

a

sin π 4

=

3

sin π 3

．
解之，得a=

2

．          …（8分）
（2）根据余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB，
由（1）知，B=

π

3

，b=

3

，
于是，3=a²+c²-2accos

π

3

=a²+c²-ac，…（10分）
根据基本不等式，a²+c²≥2ac，得3=a²+c²-ac≥ac，
所以ac≤3，当且仅当a=c时，取“=”． …（12分）
所以S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3 3

4

．    …（14分）

点评：本题考查三角形中的数量关系的计算，两角和与差的三角函数以及正弦定理余弦定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用．