Question

已知双曲线的离心率e₁，抛物线的离心率e，椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的离心率e₂，若e₁、e、e₂成等比数列，则双曲线的渐近线方程为（　　）

• A、y=±

  3

  4

  x
• B、y=±

  4

  3

  x
• C、y=±

  3

  4

  x或y=±

  4

  3

  x
• D、y=±

  4

  5

  x或y=±

  3

  5

  x

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,等差数列与等比数列,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：分别求出椭圆和抛物线的离心率，再由等比数列的性质，可得双曲线的离心率，再由双曲线的a，b，c的关系，结合双曲线的渐近线方程，即可得到．

解答： 解：抛物线的离心率e=1，
椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的离心率e₂=

25-9

5

=

4

5

，
若e₁、e、e₂成等比数列，则e₁e₂=e²=1，
则有e₁=

5

4

．
即有

c

a

=

5

4

，由于c²=a²+b²，即

25

16

a²=a²+b²，
解得，b=

3

4

a．
若双曲线焦点在x轴上，则有渐近线方程为y=±

b

a

x，即为y=±

3

4

x；
若双曲线焦点在y轴上，则有渐近线方程为y=±

a

b

x，即为y=±

4

3

x．
故选C．

点评：本题主要考查双曲线的离心率的求法，同时椭圆和抛物线的离心率，考查等比数列的性质，属于基础题．