Question

1．已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； 
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，2）上仅有一个极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a-x在区间[-a，0]上有两个不相等的实数根，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），从而求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到关于a的不等式组，求出a的范围即可；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x-a=x³+（1-3a）x-a，等价于函数h（x）在[-a，0]上恰有两个零点，根据函数的单调性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）因为f'（x）=3（x²-a），所以f'（0）=-3a，
因为f（0）=0，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-3ax．…（4分）
（Ⅱ）因为f'（x）=3（x²-a），所以，
当a≤0时，f'（x）≥0在R上恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，f（x）没有极值点，不符合题意；…（5分）
当a＞0时，令f'（x）=0得$x=±\sqrt{a}$，
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，$-\sqrt{a}$）	$-\sqrt{a}$	（$-\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）	$\sqrt{a}$	（$\sqrt{a}$，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

因为函数f（x）在区间（-1，2）仅有一个极值点，
所以$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{a}＜2\\-\sqrt{a}≤-1.\end{array}\right.$所以1≤a＜4．…（9分）
（Ⅲ） 令h（x）=f（x）+x-a=x³+（1-3a）x-a，
方程f（x）=a-x在[-a，0]上恰有两个实数根等价于函数h（x）在[-a，0]上恰有两个零点．h'（x）=3x²+（1-3a），
因为a＞1，令h'（x）=0，得$x=±\sqrt{a-\frac{1}{3}}$，…（10分）
所以$\left\{\begin{array}{l}h（0）≤0\\ h（-a）≤0\\ h（-\sqrt{a-\frac{1}{3}}）＞0.\end{array}\right.$所以  $\left\{\begin{array}{l}a≥0\\-{a^3}+3{a^2}-2a≤0\\{（-\sqrt{a-\frac{1}{3}}）^3}-（1-3a）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0.\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ a≤1或a≥2\\（2a-\frac{2}{3}）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0.\end{array}\right.$…（12分）
因为a＞1，所以$（2a-\frac{2}{3}）\sqrt{a-\frac{1}{3}}-a＞0$恒成立．
所以a≥2，所以实数a的最小值为2．…（14分）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．