Question

9．已知椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点$F（\sqrt{3}，0）$，M、N是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于M、N的动点，且△MND面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k₁，k，k₂（其中k＞0）△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S₁，S₂，若k₁，k，k₂恰好构成等比数列，求$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$的最小值，并此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知可得c，由三角形MND面积的最大值为2得ab=2，结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合k₁，k，k₂恰好构成等比数列求得k值，再由判别式大于0求得m的范围，分别求出△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S₁，S₂，代入$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$，利用基本不等式求得$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$的最小值，并求出此时直线l的方程．

解答 解：（1）由题意知，c=$\sqrt{3}$，$（{S}_{△MND}）_{max}=\frac{1}{2}×2a×b=ab=2$，
又a²=b²+c²，可得a=2，b=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
则△=16（1+4k²-m²）＞0．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4（{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∵k₁，k，k₂恰好构成等比数列，∴${k}^{2}={k}_{1}{k}_{2}=\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
即$km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}=0$．
∴$km•（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}）+{m}^{2}=0$，解得k=$\frac{1}{2}$（k＞0）．
此时△=16（2-m²）＞0，即m∈（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$）．
又由A、O、B三点不共线，得m≠0．
从而m∈（$-\sqrt{2}，0$）∪（0，$\sqrt{2}$）．
故S=$\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}•|m|=\sqrt{2-{m}^{2}}•|m|$．
又$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+{{y}_{1}}^{2}=1，\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{{y}_{2}}^{2}=1$，
∴${S}_{1}+{S}_{2}=\frac{π}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）=\frac{π}{4}$$（\frac{3}{4}{{x}_{1}}^{2}+\frac{3}{4}{{x}_{2}}^{2}+2）$
=$\frac{3π}{16}•[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}]+\frac{π}{2}=\frac{5π}{4}$．
$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$=$\frac{5π}{4}•\frac{1}{\sqrt{2-{m}^{2}}•|m|}≥\frac{5π}{4}$，（$\sqrt{2-{m}^{2}}•|m|≤\frac{2-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}=1$）．
当且仅当m=±1时等号成立．
综上，$\frac{{{S_1}+{S_2}}}{S}$的最小值为$\frac{5π}{4}$，此时直线l的方程为$y=\frac{1}{2}x+1$或y=$\frac{1}{2}x-1$．

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查等差数列的性质，考查学生分析问题和求解问题的能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．