Question

（2012•贵州模拟）已知圆C₁的参数方程为

x=cosφ y=sinφ

（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为ρ=2cos(θ+

π

3

)．
（Ⅰ）将圆C₁的参数方程化为普通方程，将圆C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C₁、C₂是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对于曲线C₁利用三角函数的平方关系式sin²φ+cos²φ=1即可；对于曲线C₂利用极坐标与直角坐标的互化公式即可化简；
（Ⅱ）先求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差进行比较即可判断出两圆的位置关系；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，利用两点间的距离公式即可．

解答：解：（I）由

x=cosφ y=sinφ

得x²+y²=1即为圆C₁的普通方程．
又∵ρ=2cos（θ+

π

3

）=cosθ-

3

sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-

3

ρsinθ．
∴x²+y²-x+

3

y=0，即(x-

1

2

)2+(y+

3

2

)2=1．
（II）圆心距d=

(0- 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=1＜2，得两圆相交．
由两圆的方程联立得

x2+y2=1 (x- 1 2 )2+(y+ 3 2 )2=1

，解得

x=1 y=0

或

x=- 1 2 y=- 3 2

即A（1，0），B(-

1

2

，-

3

2

)，
∴|AB|=

(1+ 1 2 )2+(0+ 3 2 )2

=

3

．

点评：熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系判定方法及两点间的距离公式是解题的关键．