Question

已知函数f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

．
（1）请在直角坐标系中画出函数f（x）的图象，并写出该函数的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）x≤0的图象部分可由图象变换作出；x＞0的部分为抛物线的一部分．
（2）数形结合法：转化为直线y=m与函数f（x）的图象有三个交点．

解答：解：（1）f（x）=

2-( 1 3 )x 1 2 (x-1)2+ 1 2

，函数f（x）的图象如图所示：
由图象得：函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调增区间是（-∞，0），（1，+∞）．
（2）作出直线y=m，函数g（x）=f（x）-m恰有3个不同零点等价于函数y=m与函数f（x）的图象恰有三个不同公共点．
由函数f（x）=

2-( 1 3 )x 1 2 (x-1)2+ 1 2

的图象易知：m∈(

1

2

，1)．
故m的取值范围为（

1

2

，1）．

点评：本题考查了函数图象的作法、函数的单调性及函数零点问题，本题的解决过程充分体现了数形结合思想的作用．